Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 e^{x} - x^{2})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 2 e^{x} - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x^{2}] + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - (2 x)) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3

Vereine die Terme

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Schritt 13.3.1

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.1.1

Bewege $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 13.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.1.5

Addiere $3$ und $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.3

Kombiniere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.5

Kombiniere $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.6

Kombiniere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.7

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.8.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Schritt 13.3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Schritt 13.3.8.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.8.6.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 13.3.9

Um $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.10

Kombiniere $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.13

Subtrahiere $2 x^{\frac{5}{3}}$ von $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 13.4

Stelle die Terme um.

$2 e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$