Analysis Beispiele

$lim_{n \to \infty} \frac{6 n^{3} + 2 n^{2} + 10}{n^{3} + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $n$ im Nenner, was $n^{3}$ ist.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.1.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n^{2}$ und $n^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $2 n^{2}$ heraus.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $n^{3}$ heraus.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{6 + 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n}$ $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n^{3}}$ $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n^{3}}$ $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{1 + 0}$

Schritt 8.1.3

Addiere $6 + 0$ und $0$ .

$\frac{6 + 0}{1 + 0}$

Schritt 8.1.4

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6}{1 + 0}$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{6}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6$