Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $- 72 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6, - 3$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $6$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $6$ mit $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Schritt 4.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe $- 1296$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 1296}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1296}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Schritt 4.3.2.2.4

Schreibe $- 2592$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Schritt 4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2592}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1296$ mit $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 2592$ mit $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.5.1

Subtrahiere $6480$ von $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Schritt 4.3.2.5.2

Subtrahiere $12960$ von $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Schritt 4.3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $6$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(6, - \frac{11664}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Schritt 4.5

Ersetze $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Schritt 4.5.2.1.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Schritt 4.5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.5.2.2.1

Schreibe $- 81$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Schritt 4.5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 81}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Schritt 4.5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 81}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Schritt 4.5.2.2.4

Schreibe $324$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Schritt 4.5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{324}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.5.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{324}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.4.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Schritt 4.5.2.4.2

Mutltipliziere $324$ mit $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Schritt 4.5.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.5.2.5.1

Subtrahiere $405$ von $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Schritt 4.5.2.5.2

Addiere $- 648$ und $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Schritt 4.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, \frac{972}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3.1$ mit $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $115.32$ von $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 234.484$ und $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 11.284$ .

$- 11.284$

Schritt 6.3

Bei $- 3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 11.284$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{8}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Schritt 7.2.1.14.2

Faktorisiere $2$ aus $- 72$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Schritt 7.2.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Schritt 7.2.1.14.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Schritt 7.2.1.15

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $- 27$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe $108$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{108}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{108}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $108$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.5.1

Subtrahiere $54$ von $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 81$ und $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Schritt 7.3

Bei $- \frac{3}{2}$ ist die zweite Ableitung $67.5$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 3, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $108$ von $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $216$ von $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 216$ .

$- 216$

Schritt 8.3

Bei $3$ , die zweite Ableitung ist $- 216$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 6)$

Abfallend im Intervall $(0, 6)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.1$ .

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $6.1$ mit $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $6.1$ mit $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Schritt 9.2.1.5

Mutltipliziere $- 72$ mit $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $446.52$ von $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $439.2$ von $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $22.204$ .

$22.204$

Schritt 9.3

Bei $6.1$ ist die zweite Ableitung $22.204$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(6, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Schritt 11