Analysis Beispiele

$3 y + 2 x^{2} = - x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y' + 2 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 y' + 4 x$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$4 x + 3 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- x y' - y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x + 3 y' = - x y' - y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $x y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 3 y' + x y' = - y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' + x y' = - y - 4 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y' + x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' \cdot 3 + x y' = - y - 4 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' \cdot 3 + y' x = - y - 4 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 3 + y' x$ heraus.

$y' (3 + x) = - y - 4 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 + x) = - y - 4 x$ durch $3 + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 + x) = - y - 4 x$ durch $3 + x$ .

$\frac{y' (3 + x)}{3 + x} = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 + x)}{3 + x} = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - 4 x}{3 + x}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - 4 x}{3 + x}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - (4 x)}{3 + x}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (4 x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y + 4 x)}{3 + x}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (y + 4 x)$ als $- 1 (y + 4 x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y + 4 x)}{3 + x}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y + 4 x}{3 + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 4 x}{3 + x}$