Analysis Beispiele

$\ln (x d x)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x d x)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x d x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \ln (x d x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \ln (d (x^{1} x)) d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \ln (d (x^{1} x^{1})) d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \ln (d x^{1 + 1}) d x$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \ln (d x^{2}) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (d x^{2})$ und $d v = 1$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int x \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{x}$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x} d x$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 \cdot x}{x} d x$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 x}{x} d x$

Schritt 6.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int 2 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$

Schritt 8

Schreibe $\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$ als $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$ um.

$\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \ln (x d x)$ .

$F (x) =$ $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$