Analysis Beispiele

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

Schritt 1

Sei $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Dann ist $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ , folglich $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} - 3 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{2}$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$6 y^{2} - 6 y$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2

Kombiniere $8^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $8^{u}$ nach $u$ ist $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$