Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 4 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ und $4$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ mit $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $8$ und $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.7

Addiere $2$ und $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2.8

Kombiniere $5^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Schritt 7.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Dezimalform:

$7.63138474 \dots$

Schritt 9