Analysis Beispiele

$2 x y^{3} - x^{3} = y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{3} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x y^{2} y' + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' = 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3}$

Schritt 5.2.2

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $6 y^{2} x y' - 2 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $6 y^{2} x y'$ heraus.

$2 y y' (3 y x) - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ durch $2 y (3 y x - 1)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ durch $2 y (3 y x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (3 y x - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{3}}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.2

Um $- \frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 y x - 1) \cdot 2 y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ mit $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{(3 y x - 1) (2 y)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(3 y x - 1) (2 y)$ um.

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} (2 y) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{2} y + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.5.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y \cdot y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.5.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y^{1} y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{1 + 2} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (2 y^{3}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.6.4.1

Schreibe $- (2 y^{3} - 3 x^{2})$ als $- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 5.4.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$