Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{6}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.2.7.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$- 2 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 1.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72 x$ nach $x$ gleich $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4.3

Mutltipliziere $- 72$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 72$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $24 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 72 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 72$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (36)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- 2 (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 1.2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.5

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 6)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 24 (0) - 72$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 24 (0) - 72$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) - 72$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 72$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $0$ .

$f'' (0) = - 72$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 72$ .

$- 72$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 6)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 6)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{2} + 24 (8) - 72$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 64 + 24 (8) - 72$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $64$ .

$f'' (8) = - 128 + 24 (8) - 72$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$f'' (8) = - 128 + 192 - 72$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 128$ und $192$ .

$f'' (8) = 64 - 72$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $64$ .

$f'' (8) = - 8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(6, \infty)$ konkav, weil $f'' (8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(6, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 6)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(6, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7