Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.3

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$