Analysis Beispiele

$\int_{e^{64}}^{e^{81}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (e^{64})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $64$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$u_{lower} = 64 \ln (e)$

Schritt 1.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{lower} = 64 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$u_{lower} = 64$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e^{81})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $81$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$u_{upper} = 81 \ln (e)$

Schritt 1.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 81 \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$u_{upper} = 81$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 81$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{64}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{64}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{64}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{64}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{64}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{64}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{64}^{81}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $81$ und $64$ .

$(2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 9 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$18 - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$18 - 2 \cdot 8^{1}$

Schritt 4.2.9

Berechne den Exponenten.

$18 - 2 \cdot 8$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$18 - 16$

Schritt 4.2.11

Subtrahiere $16$ von $18$ .

$2$