Analysis Beispiele

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 2 x - 5$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 2 x - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ und ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Bringe ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{2}$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2} \cdot 2}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 6.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 8.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ als $(2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5)$ um.

$\int (2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2} - 5) - 5 (2 u_{2} - 5)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5 - 5 (2 u_{2} - 5)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5 - 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 u_{2} (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 u_{2} (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.8

Bewege $u_{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.9

Bewege $u_{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.11

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 4 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.12

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 4 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.16

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.17

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.19.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.19.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.20

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.21

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.23

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.25

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.26

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.27

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.29

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.31

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.32

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.33

Subtrahiere $10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ von $- 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.34

Stelle $- 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ und $25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 9.35

Stelle $4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Da $25$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$25 \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Da $4$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 15

Da $- 20$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 20$ aus dem Integral.

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) - 20 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) - 20 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - 20 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - 20 \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 17.2.2

Kombiniere $- 20$ und $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 20 (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 20$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 40 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 17.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$50 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x - 5$ .

$50 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$50 {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{5} {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{40}{3} {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}} + C$