Analysis Beispiele

$\int {(\sqrt[6]{x})}^{3} d x$

Schritt 1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ als $\sqrt{x}$ um.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{x}$ als $x^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$\int {(x^{\frac{1}{6}})}^{3} d x$

Schritt 1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} \cdot 3} d x$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6}} d x$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int x^{\frac{3 (1)}{6}} d x$

Schritt 1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

Schritt 1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\int \sqrt{x} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$