Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{6 x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.7.2

Addiere $0$ und $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2.7.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{9}$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$6 \frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 0}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0 + 0}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$6 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$6 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x + 9}] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x + 9$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + 0) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.9

Addiere $- 3$ und $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \cdot - 3 + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.10

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 \cdot e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.12

Mutltipliziere $e^{- 3 x + 9}$ mit $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 2.3.13.1

Stelle die Terme um.

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.13.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}$ um.

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.15

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.15.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.15.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.15.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 0} - 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{- lim_{x \to 0} 3 x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.8

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.12

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Schritt 3.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.14

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.15

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $0$ und $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $e^{9}$ .

$6 \frac{0 + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$6 \frac{0 + e^{0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.6

Addiere $0$ und $9$ .

$6 \frac{0 + e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.1.7

Addiere $0$ und $e^{9}$ .

$6 \frac{e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$6 \frac{e^{9}}{0 + 1}$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$6 \frac{e^{9}}{1}$

Schritt 5.3

Dividiere $e^{9}$ durch $1$ .

$6 e^{9}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 e^{9}$

Dezimalform:

$48618.50356545 \dots$