Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$15 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Schritt 3.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{15}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Schritt 6.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $e^{u_{1}}$ von $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$