Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$ als $e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{4}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{4 \frac{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{4 \frac{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$e^{4 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - e^{\frac{x}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{\frac{x}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e^{2 (- 2) \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{e^{0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{0}}}$

Schritt 6.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1}}$

Schritt 6.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 \cdot 1}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{- 2}$

Schritt 6.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$