Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[1, 7]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{3}{x}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{3}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 7]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $7$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7$ ist $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Schritt 7.3.3

Dividiere $7$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Schritt 9.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (7)$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Schritt 9.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Schritt 10

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11