Analysis Beispiele

$\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos^{2} (x) \cdot \sin (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{2} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 7

Schreibe $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ um.

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$