Analysis Beispiele

$- 3 - 4 x^{3} = 2 y + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 3 - 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y + x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $0$ .

$- 12 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y' + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y' + x y' + y$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$x y' + y + 2 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 12 x^{2} = x y' + y + 2 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$ um.

$x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot 2 = - 12 x^{2} - y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 2$ heraus.

$y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ durch $x + 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ durch $x + 2$ .

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} - \frac{y}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - y}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - y}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - (y)}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{2}) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.2.5.1

Schreibe $- (12 x^{2} + y)$ als $- 1 (12 x^{2} + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Schritt 5.4.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$