Analysis Beispiele

$- 2 y = - 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 2 y) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 10 x - 4 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} y')$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 10 x - 4 + 9 y^{2} y'$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y' = 9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $9 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' - 9 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y'$ heraus.

$y' \cdot - 2 - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y'$ heraus.

$y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2})$ heraus.

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ durch $- 2 - 9 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ durch $- 2 - 9 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 - 9 y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 10 x - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x) - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 5 x) + 2 (- 2)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 1 (2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (2)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $- (5 x + 2)$ als $- 1 (5 x + 2)$ um.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.7

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - 9 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - (9 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (9 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$