Analysis Beispiele

$y = x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (5 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{1}{5 x}$ und $5$ .

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- π]$

Schritt 3.5

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + 0$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$ und $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$- 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$