Analysis Beispiele

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ und $g (y) = 5 x - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.6.3

Bringe ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Schritt 3.8

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

Schritt 3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.11.1

Addiere $5 x'$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

Schritt 3.11.3

Kombiniere $\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ um.

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$