Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Schritt 5.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $2 e^{2 x}$ aus $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2 e^{2 x}$ aus $- 4 e^{2 x} x$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2 e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2 e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ heraus.

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{4 x}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Schritt 6.5.2.4

Dividiere $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ durch $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Schritt 6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Schritt 6.10

Stelle die Faktoren in $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ um.

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$