Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Schritt 4

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere $u$ mit $u^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{6}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $u^{6}$ mit $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$