Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

Schritt 4.10.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ an.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.11.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.11.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.2.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.11.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ als $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ um.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.11.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.11.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.5.6.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.11.3.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.7.2

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Schritt 4.11.3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.3.8.1

Bringe $x^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Schritt 4.11.3.8.2

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.3.8.2.1

Bewege $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 4.11.3.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.8.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.8.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.8.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.8.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.3.8.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Schritt 4.11.3.8.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

Schritt 4.11.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.11.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

Schritt 4.11.5.2

Bewege $\sqrt{(x - 1) x}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

Schritt 4.11.5.3

Potenziere $\sqrt{(x - 1) x}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

Schritt 4.11.5.4

Potenziere $\sqrt{(x - 1) x}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

Schritt 4.11.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.11.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

Schritt 4.11.5.7

Schreibe ${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ als $(x - 1) x$ um.

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Schritt 4.11.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x - 1) x}$ als ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.11.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.11.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.11.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.11.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

Schritt 4.11.5.7.5

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

Schritt 4.11.6

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.6.1

Bewege $x$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Schritt 4.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.11.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Schritt 4.11.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Schritt 4.11.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Schritt 4.11.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

Schritt 4.11.6.5

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Schritt 4.11.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ um.

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$