Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(5 i - 2) (i + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Bewege $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2 i$ von $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Schritt 3

Berechne $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $50$ und $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $100$ und $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2550$ mit $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $257550$ durch $6$ .

$5 \cdot 42925$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $42925$ .

$214625$

Schritt 4

Berechne $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Addiere $50$ und $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Schritt 4.3.3

Dividiere $2550$ durch $2$ .

$13 \cdot 1275$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $13$ mit $1275$ .

$16575$

Schritt 5

Berechne $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 6) (50)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $50$ .

$- 300$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$214625 + 16575 - 300$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Addiere $214625$ und $16575$ .

$231200 - 300$

Schritt 7.2

Subtrahiere $300$ von $231200$ .

$230900$