Analysis Beispiele

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $162$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $81$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $162$ .

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $162$ von $162$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

Schritt 1.1.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

Schritt 1.1.3.6.2

Addiere $9$ und $9$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Schritt 1.1.3.6.3

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 162$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 162$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 162$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $4 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 \sqrt{x} - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.10

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.8.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Schritt 2.9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

Schritt 4.1.4

Addiere $6$ und $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{3}$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (3 \cdot 2)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 \cdot 6$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24$