Analysis Beispiele

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\ln (x) x$ bei $e^{2}$ und $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

Schritt 4.2

Berechne $x$ bei $e^{2}$ und $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Schritt 4.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $- - e$ .

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

Schritt 5.2

Subtrahiere $e^{2}$ von $2 e^{2}$ .

$e^{2} - e + e$

Schritt 5.3

Addiere $- e$ und $e$ .

$e^{2} + 0$

Schritt 5.4

Addiere $e^{2}$ und $0$ .

$e^{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{2}$

Dezimalform:

$7.38905609 \dots$