Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Schritt 10

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $x$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 12.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 12.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 12.2.4

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5

Vereinfache.

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Schritt 12.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.2.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.6

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.7

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 12.2.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.8.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.9

Addiere $1$ und $2$ .

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 12.2.5.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.14

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.15

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 12.2.5.16.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.16.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.17

Addiere $3$ und $3$ .

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 12.2.5.19

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 12.2.5.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 12.2.5.20.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 12.2.5.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.20.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 12.2.5.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 12.2.5.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 12.2.5.20.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

Schritt 12.2.5.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

Schritt 12.2.5.22

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

Schritt 12.2.5.23

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{4}$ .

$6 + \frac{16}{4}$

Schritt 12.2.5.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 12.2.5.24.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 12.2.5.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.24.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 12.2.5.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{4}{1}$

Schritt 12.2.5.24.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$6 + 4$

Schritt 12.2.5.25

Addiere $6$ und $4$ .

$10$

Schritt 13