Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{2}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{15} x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{12}{15}$ und $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $15$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{5}$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 32 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 32 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.5

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 1.2.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.6.2.4

Dividiere $4 x^{4}$ durch $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$4 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x) - 96 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 96 x^{2}$ heraus.

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x)$ heraus.

$4 x^{2} (x^{2} + 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x^{2} + 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ heraus.

$4 x^{2} (x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $5$ ist.

$- 3, 8$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x^{2} ((x - 3) (x + 8)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x^{2} (x - 3) (x + 8) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x - 3) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 8$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{15}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

Schritt 3.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $3$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot {(3)}^{6} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot 729 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$f (3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (3) = \frac{2}{5} \cdot 243 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $243$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 243}{5} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(3)}^{4}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

Schritt 3.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $81$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $243$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{243}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{243}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

Schritt 3.3.2.2.4

Schreibe $- 648$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

Schritt 3.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 648}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 648}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $243$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 648$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.5.1

Addiere $486$ und $1215$ .

$f (3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $3240$ von $1701$ .

$f (3) = \frac{- 1539}{5}$

Schritt 3.3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = - \frac{1539}{5}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(3, - \frac{1539}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, - \frac{1539}{5})$

Schritt 3.5

Ersetze $- 8$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{2}{15} \cdot {(- 8)}^{6} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $6$ .

$f (- 8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und $262144$ .

$f (- 8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $262144$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.3

Potenziere $- 8$ mit $5$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4

Multipliziere $- 8$ mit ${(- 8)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit ${(- 8)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.2.1.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + (- 8) {(- 8)}^{4}$

Schritt 3.5.2.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + {(- 8)}^{1 + 4}$

Schritt 3.5.2.1.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.5.2.1.5

Potenziere $- 8$ mit $5$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

Schritt 3.5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Schreibe $- 32768$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

Schritt 3.5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 32768}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

Schritt 3.5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 32768}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

Schritt 3.5.2.2.4

Schreibe $- 32768$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

Schritt 3.5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 32768}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 3.5.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 32768}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1

Mutltipliziere $- 32768$ mit $15$ .

$f (- 8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $- 32768$ mit $15$ .

$f (- 8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

Schritt 3.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.5.1

Subtrahiere $491520$ von $524288$ .

$f (- 8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

Schritt 3.5.2.5.2

Subtrahiere $491520$ von $32768$ .

$f (- 8) = \frac{- 458752}{15}$

Schritt 3.5.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 8) = - \frac{458752}{15}$

Schritt 3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 8$ in $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(- 8, - \frac{458752}{15})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 8, - \frac{458752}{15})$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (3, - \frac{1539}{5}), (- 8, - \frac{458752}{15})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 8)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8.1$ .

$f'' (- 8.1) = 4 {(- 8.1)}^{4} + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 8.1$ mit $4$ .

$f'' (- 8.1) = 4 \cdot 4304.6721 + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 8.1$ mit $3$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 + 20 \cdot - 531.441 - 96 {(- 8.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(- 8.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $- 8.1$ mit $2$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 96$ mit $65.61$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $10628.82$ von $17218.6884$ .

$f'' (- 8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $6298.56$ von $6589.8684$ .

$f'' (- 8.1) = 291.3084$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $291.3084$ .

$291.3084$

Schritt 5.3

Bei $- 8.1$ ist die zweite Ableitung $291.3084$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 8)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 8)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 8, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{4} + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot 256 + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $256$ .

$f'' (- 4) = 1024 + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = 1024 + 20 \cdot - 64 - 96 {(- 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 64$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 96 {(- 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 96$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 1536$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1280$ von $1024$ .

$f'' (- 4) = - 256 - 1536$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1536$ von $- 256$ .

$f'' (- 4) = - 1792$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1792$ .

$- 1792$

Schritt 6.3

Bei $- 4$ , die zweite Ableitung ist $- 1792$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 8, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 8, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{4} + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{27}{2^{3}}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{27}{8}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (5) (\frac{27}{8}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.8.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 5 (\frac{27}{2}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.9

Kombiniere $5$ und $\frac{27}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{5 \cdot 27}{2} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.11

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

Schritt 7.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $- 96$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

Schritt 7.2.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

Schritt 7.2.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

Schritt 7.2.1.15

Mutltipliziere $- 24$ mit $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{135}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{135}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $- 216$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

Schritt 7.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 216}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 216}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $135$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $- 216$ mit $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Addiere $81$ und $270$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $864$ von $351$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

Schritt 7.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

Schritt 7.3

Bei $\frac{3}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 128.25$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 3)$

Abfallend im Intervall $(0, 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.1$ .

$f'' (3.1) = 4 {(3.1)}^{4} + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3.1$ mit $4$ .

$f'' (3.1) = 4 \cdot 92.3521 + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $3.1$ mit $3$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 20 \cdot 29.791 - 96 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $29.791$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(3.1)}^{2}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $3.1$ mit $2$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $- 96$ mit $9.61$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $369.4084$ und $595.82$ .

$f'' (3.1) = 965.2284 - 922.56$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $922.56$ von $965.2284$ .

$f'' (3.1) = 42.6684$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $42.6684$ .

$42.6684$

Schritt 8.3

Bei $3.1$ ist die zweite Ableitung $42.6684$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 8, - \frac{458752}{15}), (3, - \frac{1539}{5})$ .

$(- 8, - \frac{458752}{15}), (3, - \frac{1539}{5})$

Schritt 10