Analysis Beispiele

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 6

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.7

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.9

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.10

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.11.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.13

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{6}}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$