Analysis Beispiele

$x y + y^{2} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + y x' + 2 y$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$y x' + x + 2 y$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y x' + x + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' + 2 y = - x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' = - x - 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $y x' = - x - 2 y$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y x' = - x - 2 y$ durch $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$