Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{1} + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + 3 x^{2}}}{- 4 x + 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + x (3 x)}}{- 4 x + 1}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (3 x)$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (1 + 3 x)}}{- 4 x + 1}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{\frac{- 4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{- 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to - \infty} - 4 + \frac{1}{x}}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{- 4 + 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Dividiere $0 + 3$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 3}}{- 4 + 0}$

Schritt 11.2

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{- 4 + 0}$

Schritt 11.3

Addiere $- 4$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{- 4}$

Schritt 11.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$0.43301270 \dots$