Analysis Beispiele

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $u^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$