Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $128$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $128$ von $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} \sqrt{x} - 128$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.2.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 128$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.5.2

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{7}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $\frac{5}{2}$ von $x^{\frac{5}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

Schritt 4.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{7}{2} \cdot 32$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \cdot 16$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $7$ mit $16$ .

$112$