Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ als $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Schritt 3

Schreibe $x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ als $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.3.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.5.1

Addiere $3$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.2.5.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 4.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3 x}{3 x + 1}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{3 x + 1}{3 x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{3 x + 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.6

Kombiniere $3$ und $\frac{3 x + 1}{3 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $3 x + 1$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.16

Addiere $3$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.17

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.18

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.19

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.20

Mutltipliziere $\frac{3 x + 1}{x}$ mit $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + 1$ und ${(3 x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.21.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.21.2.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $x {(3 x + 1)}^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Schritt 4.3.22

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Schritt 4.3.23

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Schritt 4.3.24

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{1}{x (3 x + 1)}$ und $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Schritt 4.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

Schritt 9

Addiere $3$ und $0$ .

$e^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$