Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{3 x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{3}{2} d x$ , folglich $\frac{2}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{3 x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{3 x}{2}$ ein.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 0$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Schritt 1.3.1.2.4

Dividiere $3 \cdot 0$ durch $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{3 x}{2}$ ein.

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{2}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $5^{u}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $5^{u}$ nach $u$ ist $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ bei $\frac{3}{2}$ und $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Schritt 6.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Schritt 7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.4

Kombinieren.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Schritt 7.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Dezimalform:

$4.21693387 \dots$

Schritt 9