Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{6}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Schritt 3.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(1, \frac{5}{6})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, \frac{5}{6})$

Schritt 3.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bewege ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{4}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Addiere $4$ und $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, \frac{5}{6})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 2.42$ und $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.42$ .

$- 0.42$

Schritt 5.3

Bei $- 1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.42$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 2.42$ und $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.42$ .

$- 0.42$

Schritt 7.3

Bei $1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.42$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Schritt 9