Analysis Beispiele

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.5

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\sin (t) (2 \cos (t))$ heraus.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Schritt 5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Schritt 8

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$