Analysis Beispiele

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + x^{3} y - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x^{3} y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{3} y'$ heraus.

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{3} + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.5

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ durch $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ durch $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$