Analysis Beispiele

$\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Schritt 5

Sei $u = x + 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 6.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ als $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$