Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (1 - 8 v^{3} + 16 v^{7}) d v$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 - 8 v^{3} + 16 v^{7} d v$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} d v + \int_{0}^{1} - 8 v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$v]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 8 v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Schritt 4

Da $- 8$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$v]_{0}^{1} - 8 \int_{0}^{1} v^{3} d v + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{3}$ nach $v$ gleich $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{1}{4} v^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $v^{4}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 v^{7} d v$

Schritt 7

Da $16$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} v^{7} d v$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{7}$ nach $v$ gleich $\frac{1}{8} v^{8}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{8} v^{8}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $v^{8}$ .

$v]_{0}^{1} - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $v$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 0 - 8 (\frac{v^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{v^{4}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{v^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2.3

Berechne $\frac{v^{8}}{8}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4

Vereinfache.

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Schritt 9.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 9.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} + 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.6

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.7

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{4}$ .

$1 + \frac{- 8}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 9.2.4.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 2}{1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.8.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$1 - 2 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.9

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Schritt 9.2.4.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8})$

Schritt 9.2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 9.2.4.12.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8})$

Schritt 9.2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.12.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.2.4.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - 0)$

Schritt 9.2.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} + 0)$

Schritt 9.2.4.14

Addiere $\frac{1}{8}$ und $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8})$

Schritt 9.2.4.15

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{8}$ .

$- 1 + \frac{16}{8}$

Schritt 9.2.4.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $8$ .

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Schritt 9.2.4.16.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8}$

Schritt 9.2.4.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.16.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 (1)}$

Schritt 9.2.4.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1}$

Schritt 9.2.4.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Schritt 9.2.4.16.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 1 + 2$

Schritt 9.2.4.17

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1$

Schritt 10