Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {\sinh (3 x)}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sinh (3 x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sinh (3 x)}^{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sinh (3 x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sinh (3 x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sinh (3 x))}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sinh (3 x))}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0^{+}} \sinh (3 x))}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $\sinh (3 x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (3 \cdot 0))}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$e^{0 \cdot \ln (\sinh (0))}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache $0 \cdot \ln (\sinh (0))$ , indem du $0$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln (\sinh^{0} (0))}$

Schritt 4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sinh^{0} (0)$

Schritt 4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$