Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 7 x - 9$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 7 x - 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $7$ und $0$ .

$7$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{7} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 7} d u$

Schritt 4.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{7 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $7 x - 9$ .

$\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$