Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ und $g (y) = x - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.8.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.10

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.12.1

Addiere $x'$ und $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.15

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.15.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 4.15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 4.15.4

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ um.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ durch $1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$