Analysis Beispiele

$6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 e^{4 x} - 2 e^{3 x} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$6 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$6 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$24 e^{4 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$24 e^{4 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$24 e^{4 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$24 e^{4 x} - 2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$24 e^{4 x} - 2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x} + 0$

Schritt 4.2

Addiere $24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$ und $0$ .

$24 e^{4 x} - 6 e^{3 x}$