Analysis Beispiele

$- x y^{3} - x = 4 y^{3} + 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y^{3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} - 1$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} - 1$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{3} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 y^{2} y' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $12 y^{2} y'$ und $0$ .

$12 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 = 12 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $12 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 12 y^{2} y'$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ heraus.

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} + 1$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ durch $3 y^{2} (- x - 4)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ durch $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 4$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} (- x - 4)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$