Analysis Beispiele

$\int \frac{7 (4 - x^{2})}{(x - 4) (x - 2) (x + 3)} d x$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \frac{4 - x^{2}}{((x - 4) (x - 2)) (x + 3)} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{2} - x^{2}}{(x - 4) (x - 2) (x + 3)}$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 4) (x - 2) (x + 3)}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Schritt 2.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 2.1.4

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 3}$

Schritt 2.1.5

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x - 4) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{(x - 4) (x - 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 2.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.1.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((2 + x) (2 - x) (x - 2)) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + x) (2 - x) (x - 2) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((2 + x) (2 - x)) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 2.1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + x) (2 - x) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.6.3.2

Dividiere $(2 + x) (2 - x)$ durch $1$ .

$(2 + x) (2 - x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.7

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 - x) + x (2 - x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 - 2 x + 2 x - x \cdot x = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 - 2 x + 2 x - x^{2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$4 + 0 - x^{2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.8.3

Addiere $4$ und $0$ .

$4 - x^{2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.9

Stelle $4$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 4 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 2.1.10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + 4 = \frac{A (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.1.2

Dividiere $((A) (x - 2)) (x + 3)$ durch $1$ .

$- x^{2} + 4 = ((A) (x - 2)) (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = (A x + A \cdot - 2) (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $A$ .

$- x^{2} + 4 = (A x - 2 \cdot A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.4

Multipliziere $(A x - 2 A) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.10.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x (x + 3) - 2 A (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x \cdot x + A x \cdot 3 - 2 A (x + 3) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x \cdot x + A x \cdot 3 - 2 A x - 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$- x^{2} + 4 = A (x \cdot x) + A x \cdot 3 - 2 A x - 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x \cdot 3 - 2 A x - 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.5.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + 3 \cdot (A x) - 2 A x - 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + 3 A x - 2 A x - 6 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.5.2

Subtrahiere $2 A x$ von $3 A x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + 1 A x - 6 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.6

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.1.10.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x - 2} + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.7.2

Dividiere $(B) (x - 4) (x + 3)$ durch $1$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + (B) (x - 4) (x + 3) + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + (B x + B \cdot - 4) (x + 3) + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.9

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $B$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + (B x - 4 \cdot B) (x + 3) + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.10

Multipliziere $(B x - 4 B) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.10.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x (x + 3) - 4 B (x + 3) + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 3 - 4 B (x + 3) + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 3 - 4 B x - 4 B \cdot 3 + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.10.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.11.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.11.1.1.1

Bewege $x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 3 - 4 B x - 4 B \cdot 3 + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.11.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} + B x \cdot 3 - 4 B x - 4 B \cdot 3 + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.11.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $B x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} + 3 \cdot (B x) - 4 B x - 4 B \cdot 3 + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.11.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} + 3 B x - 4 B x - 12 B + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.11.2

Subtrahiere $4 B x$ von $3 B x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 2.1.10.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + \frac{(C) (x - 4) (x - 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 2.1.10.12.2

Dividiere $(C) (x - 4) (x - 2)$ durch $1$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + (C) (x - 4) (x - 2)$

Schritt 2.1.10.13

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + (C x + C \cdot - 4) (x - 2)$

Schritt 2.1.10.14

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $C$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + (C x - 4 \cdot C) (x - 2)$

Schritt 2.1.10.15

Multipliziere $(C x - 4 C) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.10.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x (x - 2) - 4 C (x - 2)$

Schritt 2.1.10.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x \cdot x + C x \cdot - 2 - 4 C (x - 2)$

Schritt 2.1.10.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x \cdot x + C x \cdot - 2 - 4 C x - 4 C \cdot - 2$

Schritt 2.1.10.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.10.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.16.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.16.1.1.1

Bewege $x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C (x \cdot x) + C x \cdot - 2 - 4 C x - 4 C \cdot - 2$

Schritt 2.1.10.16.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x^{2} + C x \cdot - 2 - 4 C x - 4 C \cdot - 2$

Schritt 2.1.10.16.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $C x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x^{2} - 2 \cdot (C x) - 4 C x - 4 C \cdot - 2$

Schritt 2.1.10.16.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x^{2} - 2 C x - 4 C x + 8 C$

Schritt 2.1.10.16.2

Subtrahiere $4 C x$ von $- 2 C x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 8 C$

Schritt 2.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.11.1

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - B x - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 8 C$

Schritt 2.1.11.2

Bewege $B$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - 1 x B - 12 B + C x^{2} - 6 C x + 8 C$

Schritt 2.1.11.3

Bewege $- 12 B$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x - 6 A + B x^{2} - 1 x B + C x^{2} - 6 C x - 12 B + 8 C$

Schritt 2.1.11.4

Bewege $- 6 A$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x^{2} - 6 C x - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.1.11.5

Bewege $- 1 x B$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} - 1 x B - 6 C x - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.1.11.6

Bewege $A x$ .

$- x^{2} + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x - 1 x B - 6 C x - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = A + B + C$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 B - 6 C$

Schritt 2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 1 = A + B + C$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Löse in $- 1 = A + B + C$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B + C = - 1$ um.

$A + B + C = - 1$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.2.1

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A + C = - 1 - B$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.1.2.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 1 - B - C$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

$A = - 1 - B - C$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

$A = - 1 - B - C$

$0 = A - 1 B - 6 C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1 - B - C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 1 B - 6 C$ durch $- 1 - B - C$ .

$0 = (- 1 - B - C) - 1 B - 6 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache $(- 1 - B - C) - 1 B - 6 C$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$0 = - 1 - B - C - B - 6 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- B$ .

$0 = - 1 - 2 B - C - 6 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.2.2.1.3

Subtrahiere $6 C$ von $- C$ .

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = - 6 A - 12 B + 8 C$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $A$ in $4 = - 6 A - 12 B + 8 C$ durch $- 1 - B - C$ .

$4 = - 6 (- 1 - B - C) - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.4.1

Vereinfache $- 6 (- 1 - B - C) - 12 B + 8 C$ .

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Schritt 2.3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = - 6 \cdot - 1 - 6 (- B) - 6 (- C) - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$4 = 6 - 6 (- B) - 6 (- C) - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$4 = 6 + 6 B - 6 (- C) - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$4 = 6 + 6 B + 6 C - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 + 6 B + 6 C - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 + 6 B + 6 C - 12 B + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.2.4.1.2.1

Subtrahiere $12 B$ von $6 B$ .

$4 = 6 - 6 B + 6 C + 8 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.2.4.1.2.2

Addiere $6 C$ und $8 C$ .

$4 = 6 - 6 B + 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 - 6 B + 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 - 6 B + 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 - 6 B + 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$4 = 6 - 6 B + 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3

Löse in $4 = 6 - 6 B + 14 C$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $6 - 6 B + 14 C = 4$ um.

$6 - 6 B + 14 C = 4$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 B + 14 C = 4 - 6$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.2.2

Subtrahiere $14 C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 B = 4 - 6 - 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.2.3

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$- 6 B = - 2 - 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$- 6 B = - 2 - 14 C$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 B = - 2 - 14 C$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 B = - 2 - 14 C$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 2}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 2}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{- 2}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{- 2}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 6$ .

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Schritt 2.3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$B = \frac{- 2 \cdot 1}{- 6} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$B = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 14 C}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $- 6$ .

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Schritt 2.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 14 C$ heraus.

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 2 (7 C)}{- 6}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 2 (7 C)}{- 2 \cdot 3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \frac{1}{3} + \frac{- 2 (7 C)}{- 2 \cdot 3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$0 = - 1 - 2 B - 7 C$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = - 1 - 2 B - 7 C$ durch $\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$ .

$0 = - 1 - 2 (\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}) - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Vereinfache $- 1 - 2 (\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}) - 7 C$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 - 2 (\frac{1}{3}) - 2 \frac{7 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$0 = - 1 + \frac{- 2}{3} - 2 \frac{7 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.1.3

Multipliziere $- 2 \frac{7 C}{3}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7 C}{3}$ .

$0 = - 1 + \frac{- 2}{3} + \frac{- 2 (7 C)}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$0 = - 1 + \frac{- 2}{3} + \frac{- 14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = - 1 + \frac{- 2}{3} + \frac{- 14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.2.1.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - 1 - \frac{2}{3} + \frac{- 14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - 1 - \frac{2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = - 1 - \frac{2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = - 1 - \frac{2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 = - 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 = \frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = \frac{- 1 \cdot 3 - 2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 = \frac{- 3 - 2}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$0 = \frac{- 5}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = \frac{- 5}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - \frac{5}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.7

Um $- 7 C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 = - \frac{5}{3} - \frac{14 C}{3} - 7 C \cdot \frac{3}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.8

Kombiniere $- 7 C$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 = - \frac{5}{3} - \frac{14 C}{3} + \frac{- 7 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = - \frac{5}{3} + \frac{- 14 C - 7 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = \frac{- 5 - 14 C - 7 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$0 = \frac{- 5 - 14 C - 21 C}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.12

Subtrahiere $21 C$ von $- 14 C$ .

$0 = \frac{- 5 - 35 C}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.13

Faktorisiere $5$ aus $- 5 - 35 C$ heraus.

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Schritt 2.3.4.2.1.13.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$0 = \frac{5 (- 1) - 35 C}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.13.2

Faktorisiere $5$ aus $- 35 C$ heraus.

$0 = \frac{5 (- 1) + 5 (- 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.13.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- 1) + 5 (- 7 C)$ heraus.

$0 = \frac{5 (- 1 - 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = \frac{5 (- 1 - 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.14

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$0 = \frac{5 (- 1 \cdot 1 - 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 C$ heraus.

$0 = \frac{5 (- 1 \cdot 1 - (7 C))}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (7 C)$ heraus.

$0 = \frac{5 (- 1 (1 + 7 C))}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.2.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - 1 - B - C$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $B$ in $A = - 1 - B - C$ durch $\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$ .

$A = - 1 - (\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}) - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.4.1

Vereinfache $- 1 - (\frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}) - C$ .

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Schritt 2.3.4.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A = - 1 - \frac{1}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A = - 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- 1 \cdot 3 - 1}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$A = \frac{- 3 - 1}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$A = \frac{- 4}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = \frac{- 4}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{4}{3} - \frac{7 C}{3} - C$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.7

Um $- C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A = - \frac{4}{3} - \frac{7 C}{3} - C \cdot \frac{3}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.8

Kombiniere $- C$ und $\frac{3}{3}$ .

$A = - \frac{4}{3} - \frac{7 C}{3} + \frac{- C \cdot 3}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = - \frac{4}{3} + \frac{- 7 C - C \cdot 3}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- 4 - 7 C - C \cdot 3}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$A = \frac{- 4 - 7 C - 3 C}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.12

Subtrahiere $3 C$ von $- 7 C$ .

$A = \frac{- 4 - 10 C}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.13

Faktorisiere $2$ aus $- 4 - 10 C$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.4.1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$A = \frac{2 (- 2) - 10 C}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 C$ heraus.

$A = \frac{2 (- 2) + 2 (- 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.13.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2) + 2 (- 5 C)$ heraus.

$A = \frac{2 (- 2 - 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = \frac{2 (- 2 - 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.14

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$A = \frac{2 (- 1 \cdot 2 - 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 C$ heraus.

$A = \frac{2 (- 1 \cdot 2 - (5 C))}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (5 C)$ heraus.

$A = \frac{2 (- 1 (2 + 5 C))}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.4.4.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5

Löse in $0 = - \frac{5 (1 + 7 C)}{3}$ nach $C$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$5 (1 + 7 C) = 0$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 2.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (1 + 7 C) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (1 + 7 C) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (1 + 7 C)}{5} = \frac{0}{5}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (1 + 7 C)}{5} = \frac{0}{5}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.1.2.1.2

Dividiere $1 + 7 C$ durch $1$ .

$1 + 7 C = \frac{0}{5}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$1 + 7 C = \frac{0}{5}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$1 + 7 C = \frac{0}{5}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$1 + 7 C = 0$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$1 + 7 C = 0$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$1 + 7 C = 0$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 C = - 1$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $7 C = - 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $7 C = - 1$ durch $7$ .

$\frac{7 C}{7} = \frac{- 1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 C}{7} = \frac{- 1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = \frac{- 1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = \frac{- 1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- \frac{1}{7}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $A = - \frac{2 (2 + 5 C)}{3}$ durch $- \frac{1}{7}$ .

$A = - \frac{2 (2 + 5 (- \frac{1}{7}))}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Vereinfache $- \frac{2 (2 + 5 (- \frac{1}{7}))}{3}$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.2.1.1.1

Multipliziere $5 (- \frac{1}{7})$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$A = - \frac{2 (2 - 5 (\frac{1}{7}))}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{7}$ .

$A = - \frac{2 (2 + \frac{- 5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (2 + \frac{- 5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{2 (2 - \frac{5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$A = - \frac{2 (2 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$A = - \frac{2 (\frac{2 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = - \frac{2 (\frac{2 \cdot 7 - 5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.2.1.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$A = - \frac{2 (\frac{14 - 5}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.1.6.2

Subtrahiere $5$ von $14$ .

$A = - \frac{2 (\frac{9}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (\frac{9}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{2 (\frac{9}{7})}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.6.2.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{7}$ .

$A = - \frac{\frac{2 \cdot 9}{7}}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$A = - \frac{\frac{18}{7}}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{\frac{18}{7}}{3}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A = - (\frac{18}{7} \cdot \frac{1}{3})$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$A = - (\frac{3 (6)}{7} \cdot \frac{1}{3})$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = - (\frac{3 \cdot 6}{7} \cdot \frac{1}{3})$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $C$ in $B = \frac{1}{3} + \frac{7 C}{3}$ durch $- \frac{1}{7}$ .

$B = \frac{1}{3} + \frac{7 (- \frac{1}{7})}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.4.1

Vereinfache $\frac{1}{3} + \frac{7 (- \frac{1}{7})}{3}$ .

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Schritt 2.3.6.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{1 + 7 (- \frac{1}{7})}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.6.4.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{7}$ in den Zähler.

$B = \frac{1 + 7 (\frac{- 1}{7})}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \frac{1 + 7 (\frac{- 1}{7})}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \frac{1 - 1}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = \frac{1 - 1}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.4.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$B = \frac{0}{3}$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.6.4.1.3.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$B = 0$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = 0$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = 0$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = 0$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

$B = 0$

$A = - \frac{6}{7}$

$C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 0, A = - \frac{6}{7}, C = - \frac{1}{7}$

Schritt 2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{6}{7}}{x - 4} + \frac{0}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{7}}{x + 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x - 4} + \frac{0}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{7}}{x + 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 4}$ mit $\frac{6}{7}$ .

$- \frac{6}{(x - 4) \cdot 7} + \frac{0}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{7}}{x + 3}$

Schritt 2.5.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$- \frac{6}{7 (x - 4)} + \frac{0}{x - 2} + \frac{- \frac{1}{7}}{x + 3}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $0$ durch $x - 2$ .

$- \frac{6}{7 (x - 4)} + 0 + \frac{- \frac{1}{7}}{x + 3}$

Schritt 2.5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{6}{7 (x - 4)} + 0 - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{6}{7 (x - 4)} + 0 - \frac{1}{(x + 3) \cdot 7}$

Schritt 2.5.7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$- \frac{6}{7 (x - 4)} + 0 - \frac{1}{7 (x + 3)}$

Schritt 2.5.8

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$7 \int - \frac{6}{7 (x - 4)} - \frac{1}{7 (x + 3)} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\int - \frac{6}{7 (x - 4)} d x + \int - \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (- \int \frac{6}{7 (x - 4)} d x + \int - \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 5

Da $\frac{6}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{6}{7}$ aus dem Integral.

$7 (- (\frac{6}{7} \int \frac{1}{x - 4} d x) + \int - \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 6

Sei $u_{1} = x - 4$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = x - 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 6.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$7 (- \frac{6}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (- \frac{6}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (- \frac{6}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{7 (x + 3)} d x)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$7 (- \frac{6}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{7} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

Schritt 10

Sei $u_{2} = x + 3$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 10.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$7 (- \frac{6}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (- \frac{6}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 12

Vereinfache.

$7 (- \frac{6}{7} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$7 (- \frac{6}{7} \ln (| x - 4 |) - \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 3$ .

$7 (- \frac{6}{7} \ln (| x - 4 |) - \frac{1}{7} \ln (| x + 3 |)) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\ln (| x - 4 |)$ und $\frac{6}{7}$ .

$7 (- \frac{\ln (| x - 4 |) \cdot 6}{7} - \frac{1}{7} \ln (| x + 3 |)) + C$

Schritt 14.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\ln (| x - 4 |)$ .

$7 (- \frac{6 \cdot \ln (| x - 4 |)}{7} - \frac{1}{7} \ln (| x + 3 |)) + C$

Schritt 14.1.3

Kombiniere $\ln (| x + 3 |)$ und $\frac{1}{7}$ .

$7 (- \frac{6 \ln (| x - 4 |)}{7} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{7}) + C$

Schritt 14.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 \frac{- 6 \ln (| x - 4 |) - \ln (| x + 3 |)}{7} + C$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{- 6 \ln (| x - 4 |) - \ln (| x + 3 |)}{7} + C$

Schritt 14.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 6 \ln (| x - 4 |) - \ln (| x + 3 |) + C$