Analysis Beispiele

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - \frac{5}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Schritt 3.3

Da $- \frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Schritt 3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\frac{5 e^{x}}{4}$ von $e^{x} x^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Stelle $e^{x}$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.4.2

Um $x^{2} e^{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $x^{2} e^{x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $4 x^{2} e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.5.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 5 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.5.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Schritt 4.6

Um $2 e^{x} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.7

Kombiniere $2 e^{x} x$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ heraus.

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Schritt 4.9.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x} x \cdot 4$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Schritt 4.9.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Schritt 4.9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Schritt 4.9.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.9.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 4.9.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Schritt 4.9.4.1.2

Schreibe $8$ um als $- 2$ plus $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Schritt 4.9.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Schritt 4.9.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.9.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Schritt 4.9.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Schritt 4.9.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$