Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x - 2}{x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 6 x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 6 x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1